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[原创] 闲谈先秦 乐、律、历 的关系

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發表於 2022-11-15 15:38 | 顯示全部樓層 |閱讀模式
本帖最後由 秦伊人 於 2022-11-15 15:40 編輯

闲谈先秦 乐、律、历 的关系,和使用“八十一日分”的真正原因

一、音律和律历的关系


  《太初历》最初使用81日分的原因是什么?《汉书·律历志》说:“其法以律起历,曰:‘律容一龠,积八十一寸,则一日之分也。与长相终。律长九寸,百七十一分而终复。三复而得甲子。’”这是因为当时已经发现了十九年七闰的规律,才有所谓“百七十一分而终复”(171/19=9)。“三复而得甲子”是说经过三个19年就回到“甲子元”,如:前161甲子元,前142甲辰元,前123甲申元,前104年又是甲子元。冬至日逢甲子朔旦是称为“甲子元”,这是历算的基准,19×4=76年一个轮回。但是用81日分还是另有原因,因为19年包含235个朔望月,4×235=940,朔望月=29+(499/940)=29.530851,这940是“四分术”的日分,也是十九年七闰的必然结果,西汉不用940日分而用81日分,朔望月=29+(43/81)=29.5308642,这会降低历法精度,可是西汉《太初历》还是先用了81日分,后来东汉才改用940日分。为什么知道“十九年七闰”后不用“四分术”的940日分,而是用“三统术”的81日分?


  成熟的律算技术来自对乐律的计算,乐律的计算因为与度量有关,所以乐律的计量名称如“宫”和“黄钟”等也被使用到其他的律算中。汉武帝时期对历法计算要求“其法以律起历”,是为了使用成熟的律算技术,因为律算技术是在乐律应用上发展起来的,而追求整数比是“乐律”和“律历”的共性。乐律有简单的整数比音乐才和谐动听,而律历有年月日三者的整数比,才能精确推算出历法。乐律和谐在于五音的整数比,以宫音81起律;律历精确在于年月日的整数比,以日分81起算。将成熟的乐律技术应用于历法,正所谓《史记·律书》说的:“建律运历造日度”,和《汉书·律历志》说的:“其法以律起历”。


  最早乐律以“宫”定调其律长是有多重选择的,不一定宫调必选81,如管仲选宫调21,对于“宫商角征羽”这些音调的确定,在司马迁认为是以“宫”来定低调,宫调最低,羽调最高;而早在管仲时期却是用“宫”定中音调,并规定管乐的征调最低,角调最高;相反弦乐的征调最高,角调最低。如:在《管子·地员第五十八》中规定:

   X1.PNG

   X2.PNG

  而在《史記·律書》中规定:


  (先損後益:低宮音)
  律數九九八十一以为宫81
  三分去一五十四以為徵54
  三分益一七十二以為商72
  三分去一四十八以為羽48
  三分益一六十四以為角64


总结如下表:
X3.PNG

 樓主| 發表於 2022-11-15 15:47 | 顯示全部樓層
本帖最後由 秦伊人 於 2022-11-15 15:49 編輯

(第二页)

二、宫律数八十一的来历


  在商鞅时期,有著名的“商鞅方升”流传至今,根据《中国古代度量衡图集》(国家计量总局编辑,文物出版社1984)的记载:


商鞅方升:(战国·秦)上海博物馆藏
积:长五寸四(124.774)、宽三寸(69.742)深一寸(23.23)。
铭刻:“十八年,齐率卿大夫重来聘,冬十二月乙酉,大良造鞅,援积十六尊五分尊一为升。”


X4.PNG

  秦汉时期一寸约为23毫米,折算后商鞅方升的理论尺寸如图:(长:5.4寸、约合124.2毫米;宽:3寸、约合69毫米;高:1寸、约合23毫米。)


X5.PNG

  在示意图中表示:1商鞅方升体积为197105.4立方毫米(124.2×69×23)
          1商鞅方升等于16.2商鞅方寸(5.4×3×1);
           其空腔部分是表示10商鞅立方寸(2×5)。
  这是表示1商鞅升的谷物,包含10商鞅方寸的净米。


X6.PNG

  从商鞅到王莽的秦汉时期,“方寸”被用来作为设计、计算计量器具的基本单位,16.2方寸为一升,一升谷物可得十方寸纯粮。“方寸”用作计量单位,是以长度单位作为设计容量器具的依据,这是从商鞅时期就有的传统。如上图:现藏于中国历史博物馆的始建国铜方斗(新莽),有铭文:“律量斗,方六寸,深四寸五分,积百六十二寸,容十升,始建国元年正月癸酉朔日制”。(6×6×4.5=162)这个容积是商鞅方升的整十倍,可见王莽时期对商鞅时期的计量法度是完全继承的。这个“积百六十二寸”为何不是容16.2升?而是“容十升”,这就是谷与米的比列,是说“百六十二寸”的谷子可以“容十升”米。这个容积接近10/6的比例,和《破城子汉简》110.14记录“粟一斗得米六升”是一致的。


  《汉书·律历志》有:“合龠为合,十合为升,十升为斗,十斗为斛”。若当初商鞅能设计“方寸为合,十方寸为升,百方寸为斗”的容量体系,则是十分方便的,但是由于容量的设计兼顾了谷物和纯粮的容积换算,所以才出现了“援积十六尊五分尊一为升”(16.2方寸“粟”转换为一升“米”)这样一个奇特的复合型的基本容量单位。


   现在可以认识到,所谓的“容如黄钟”只是一种人为解释,如:1970年在陕西咸阳底张湾出土,现藏咸阳市博物馆的始建国铜龠(新莽),柄上刻铭文一行:“律量龠,方寸而圈其外,兆旁九豪,冥百六十二分,深五分,积八百一十分,容如黄钟”。 容积八十一是“容如黄钟”,其来源是“积百六十二”,就是二倍黄钟数,但这个最早出现在商鞅方升里的“百六十二”,只是因为粟与米的比例而特意设定的数据,这与的黄钟律81或宫律81没有直接关系,因为宫律也可以不选81而选其他的数值。



 樓主| 發表於 2022-11-15 15:55 | 顯示全部樓層
本帖最後由 秦伊人 於 2022-11-15 20:32 編輯

(第三页)

三、用“八十一日分”是为计算简便


    从《历术甲子篇》中有司马迁死后的纪年来看,《历术甲子篇》一定不是司马迁本人
录入《史記》的;但是学界认为后来的纪年是后人所加,《历术甲子篇》的主体数据是司
马迁本人录入《史记》的,这使得问题复杂化。所以只能从《历术甲子篇》的实质内容来
分析《历术甲子篇》的产生年代。


    西汉司马迁先写有《史记》,东汉班固再写有《前汉书》,最后在魏晋时期的范晔、
司马彪才写有《后汉书》,这三部著作产生的时间顺序是不容质疑的,这是讨论的基础。
通过对以上三本书所记录的计算数据的不同,可以分析出《历术甲子篇》的产生年代。


    年月日是观象历自然的计算单位,在推步历出现前就使用,由于推步计算的需要,在
推步历中有推步历专用计算单位,“章”、“蔀”、“纪”、“统”是推步历的计算单位,
最小的推步历计算单位是“章”,在《前汉书律历志第一》中,有关推步历所使用的计算数据有五条:


  1  闰法,十九。           19×1
  2  章月,二百三十五。     12×197
  3  统法,一千五百三十九。19×81
  4  月法,二千三百九十二。81×29.530864
  5    日法,八十一。         81


  相应地在《后汉书志第三律历下》中,有关推步历使用的计算数据有六条:


  1   章法,十九。             19×1
  2    章月,二百三十五。       12×197
  3    纪法,千五百二十。       19×80
  4  蔀日,二万七千七百五十九。(940×29.530851)(365.25×19×4
  5  蔀月,九百四十。         940
  6  蔀法,七十六。           19×4


已知:1、《前汉书》“三统历”系统所使用的推步计算单位是“章”和“统”;
         1章=19年;1统=81章。)


      2、《后汉书》“四分历”系统所使用的推步计算单位是“章”、“蔀”和“纪”;
         1章=19年;1蔀=4章;1纪=20蔀。)(1“统”=1“纪”+1“章”。)


      3、《历术甲子篇》的成立基础是在“四分历”系统的基础上,对子正月朔日的精
         确计算,而计算的基础是对数据的掌握和使用,在《历术甲子篇》中使用的基
         本数据和基本计算有:


         1年=365.25日;
         1章=19年=6939.75日;
         1蔀=4章=76年=27759日;
          “日分”=940


         朔望月=蔀日/蔀月
               27759940
                =(365.25×19×4)/(235×4
                29+(499940


推论:1、在《历术甲子篇》里使用的数据是:“蔀法”(=76年),和“蔀月”(=940),
        这些概念在《史记》和《前汉书》中并没有出现,所以在“蔀”概念上建立的《历
        术甲子篇》是不应该在《史记》中出现的。


推论:2、在《汉书·律历志》中有“其法以律起历,......法,一月之日二十九日八十一分
         日之四十三。”明言用数“八十一”为“日分”;但是《历术甲子篇》中“日分”
          用数“九百四十”,不能支持“八十一分日”的记录,所以《历术甲子篇》在《史记》
      中的出现是与《汉书·律历志》的记录相矛盾的。



    从对“日分”数据的使用来看,《前汉书》所用的是“81,《后汉书》和《历术甲子篇》所用的是“940;而对“日分”数据的使用是计算能力的标志,可计算能力是随着时代的进步而增加的。古人用算筹计算,比较《四分历》和《太初历》用不同的“朔策”模拟用算筹的算法如下:

《四分历》模拟算筹算法:(朔望月=29(499/940)29.530851
X7.PNG

《太初历》模拟算筹算法:(朔望月=29(43/81)29.5308642
X8.PNG

  对于小馀的计算,《太初历》算法是用十位数加减法,《四分历》是用百位数加减法,
显然《太初历》算法比《四分历》的算法更为简易,更为优越,这在以算筹为计算工具的时
代更是如此。并且用《太初历》算法的计算结果规律性很强,这对于验证计算也很有利。


    古人用算筹计算非常烦琐,算筹只能对整数和整数比(分数)进行四则运算,乘法变成
加法运算,除法用分数表示。所以对于499/940这样大分母的分数,从算筹计算方便考虑,
古人希望用分母小的分数来近似表示,而因为对乐律计算的熟悉,这个分母又希望用一个律长数
(宫、商、角、征、羽)来表示。


古律长度有:宫=81(基准律长度)
征=宫+宫/3108;商=征-征/372
羽=商+商/396角=羽-羽/364。(先益后损)
征=宫-宫/354商=征+征/372
羽=商-商/348角=羽+羽/364。(先损后益)

(108)(96)(81)(72)(64)            (先益后损,中宫音调)
      宫(81)商(72)角(64)征(054)羽(48)(先损后益,低宫音调)


设:499/940A/81B/72C/64D/54E/48F/108G/96


  (宫)A42.9989取整为43差为0.0011
  (商)B38.2213取整为38差为0.2213
  (角)C33.9745取整为34差为0.0255
  (征)D28.6660取整为29差为0.3340
  (羽)E25.4809取整为25差为0.4809
  (征)F57.3319取整为58差为0.6681
  (羽)G50.9617取整为51差为0.0383


    上述计算表示,只有A42.9989最接近一个整数值(43),而只有整数和用整数表示的分数才能够用算筹进行计算。司马迁对上述历算中律和历的数字关系是认可的,并有所叙述,这个43/81的律历数字关系成了邓平“以律起历”的基础,这是对499/940的简化,而这个简化大大方面了当时的算筹运算,二者的朔望月绝对差值仅为0.000013(十万分之1.3)。


    从上述《太初历》和《四分历》的运算过程和计算结果来看,《太初历》算法简便,但是“粗”于《四分历》,《四分历》算法复杂,但是“精”于《太初历》;所以若邓平计算的《太初历》在当时果然粗疏,则不会以“粗疏”为借口废弃其他十七种历法;若司马迁当时果然有“精”于《太初历》的《四分历》在手,邓平也不能以其他历法“粗疏”为借口而自立。所以合理的解释是:由于当时没有能力对三位数进行大规模的历法运算,改用对二位数的运算;对三位数的历法运算是在《太初历》颁布之后和东汉改历之前,所以《历术甲子篇》是在司马迁之后完成的。


  天文观象和历法推算是有区别的,不能说唐都是司马迁的父亲司马谈的天文老师,就说司马迁也必然精通历算;其实在制定《太初历》时,唐都的工作也只是“分天部”,历算工作由邓平和落下闳承担。《吕氏春秋·贵因》云:“夫审天者,察列星而知四时,因也。推历者,视月行而知晦朔,因也。”可见“观星者”是分天部、定四时的,是唐都一派;“视月者”才是推历、算历的人,是邓平一派,无怪乎当时多数参与《太初历》制定的人都说“不能为算”。司马迁对《天官书》很熟悉,这并不表示他对历算也精通。


  另外,《史记》经历汉武帝和东汉章帝两次大规模删减,后人有增补《史记》的可能,所以《史记》已经不是司马迁时期的原貌。从《汉书》对《太初历》的描述,《历术甲子篇》与《太初历》是不同两种历法,并且《历术甲子篇》比《太初历》先进,而司马迁时期只有《太初历》经过颁布,所以《历术甲子篇》不应该是司马迁时期的历法。


  由于不为人知的原因,《历术甲子篇》进入了《史记》,学者们产生了一些误解,在《〈历术甲子篇〉浅释》中,张汝舟说:“尤可怪者,篇末说:‘大馀者,日也。小馀者,月也。’司马迁家学甚深,怎么会有这种谬言迷惑后人,这一妄改,全篇‘大馀’、‘小馀’便成了一天云雾”。(《二毋室古代天文历法论丛·〈历术甲子篇〉浅释》张汝舟著);因为张汝舟主观地认为《历术甲子篇》一定是司马迁录入《史記》的,所以他要批后人“妄改”《历术甲子篇》,同时可以看出张汝舟不认为“小馀”和“月”有关系。


  在《汉书律历志第一下》有:“推正月朔,......小馀三十八以上,其月大。”在《后汉书志第三律历下》有:“推天正朔日,......小馀四百四十一以上,其月大。”“天正朔日”是指“子正月”朔日,子正月朔日的“小馀”若小,子正月就是小月,反之“小馀”若大,就是大月,所以说:“小馀者,月也。”的说法不是“妄改”《历术甲子篇》的语言。


  其实“小馀者,月也。”就是说大小月的排布规律由“小馀”数值的相对大小来决定,这在《前汉书》和《后汉书》中都有叙述,所不同的是对于“小馀”数大小的界定值,《前汉书》所用的是“38”,《后汉书》所用的是“441”。由于:“38/81=0.469;441/940=0.469”,所以上述两书所用的界定值是完全一致的。


  总之,从对“日分”数据的使用来看,《前汉书》所用的是“81”,《后汉书》和《历术甲子篇》所用的是“940”;而对“日分”数据的使用是计算能力的标志,可计算能力是随着时代的进步而增加的。所以,在知道“十九年七闰”后,虽然必有“四分历”的940日分,但是局限于当时的能力,对大规模的历法计算,使用算筹计算三位数日分比计算二位数日分更困难,以至于当时官方有“不能为算”的说法,而要调用“民间治历者”,因此当时邓平选择了使用较为方便的81日分。至于后来“三统术”的81日分被冠以“黄钟律”的名称,也只是一种文化解释,499/940非常接近43/81也只是巧合,其实使用81日分和使用940日分的区别只在于计算的方便程度。另外,“四分术”与“三统术”的基础都来源于“十九年七闰”,两种历术也能互相转换。



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