戰國秦漢算術簡牘研讀

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張家山漢簡《算數書》簡121補釋

張家山漢簡《算數書》簡121—122:

〼□□□□□□□□□□□□□得幾何？得曰：米六升四分升之一。术（術）曰：直（置）米五升、 楊 121粟五升，粟五升爲米三升，并米五升者八以爲法，乃更直（置）五升而十之，令如法粟米各一升。122（《張家山漢墓竹簡〔二四七號墓〕：釋文修訂本》）

睡虎地漢簡《算術》的“粟半”算題可對讀：

粟半

粟五升，米五升。今欲令粟、米半而爲米一斗，問：粟各得幾何？得曰：米六升有（又）四101分升之一。术（術）曰：置米五升、粟五升，粟五升爲米三升，并米五升者八以爲法，乃更置五升102而十之，令如法粟、米各一升。103（《睡虎地西漢簡牘〔貳〕·算術》）

二者文本幾乎相同，是同一問題，可據《算術》復原《算數書》。據文義，《算數書》簡121“得幾何”前可能爲“粟五升，米五升。今欲令粟、米半而爲米一斗，問：粟米各”；結合圖版來看，簡121上部的文字大多漫漶不清，但仍可識得部分字形，試修改釋文爲：

〼粟五□□□□□□□□□□□□米一斗，問：□米□得幾何？得曰：米六升四分升之一。术（術）曰：直（置）米五升、 楊 121粟五升，粟五升爲米三升，并米五升者八以爲法，乃更直（置）五升而十之，令如法粟米各一升。122

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張家山漢簡《算數書》簡18校讀

張家山漢簡《算數書》“約分”算題：

約分 約分術曰：以子除母，母亦除子，子母數交等者，即約之矣。有（又）曰：約分术（術）曰：可半，半之；可令若干一，若干一。·其一术（術）曰：17以分子除母，少（小）以母除子，子母等以為法，子母各如法而成一。18不足除者可半，半母亦半子。19·二千一十六分之百六十二，·約之百一十二分之九。20（《张家山汉墓竹简〔二四七号墓〕：释文修订本》）

睡虎地漢簡《算術》的兩個“約分”題可對讀：

1.約分

約分术（術）曰：[以約分术（術）曰]以子除【母，母亦除】子，子母數交等者，即以約之矣。63（以“[]”括注衍文、“【】”括注脱文）

2.約分

約分术（術）曰：可半，半之；可令若干一，若干【一】。其一术（術）曰：以分子除母，母少，以母除子，子母等以爲209（法），子母各如（法）而成一。210壹

劉金華、吴朝陽、譚競男等先生均認爲《算數書》簡18的簡文應爲“以分子除母，少，以母除子”，將“少”與前後文字單獨斷開。《算術》簡209有“以分子除母，母少，以母除子”，且細審《算數書》簡18的圖版，簡18“少”前一字爲“母”，該字右下方有兩點重文符號。可校改《算數書》簡18的“以分子除母，少（小）以母除子”爲“以分子除母，母少，以母除子”，與《算術》完全相同。

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睡虎地漢簡《算術》中的“叔”字

張家山漢簡《算數書》有兩條含“菽”字的簡文：

1.程曰：麥、菽、荅、麻十五斗一石（簡90）

2.麻、麥、菽、荅三而當米二（簡109）

整理者將簡90、109“麥”後一字均徑釋爲“菽”，譚競男先生將兩字改釋爲“叔”，讀作“菽”。（《出土秦漢算術文獻若干問題研究》，92頁）譚先生的意見可從。睡虎地漢簡《算術》亦有該字：

1.●程曰：麦、菽、荅、麻十五斗爲一石（簡71）

2.·麻、麦、菽、荅三而當米二（簡90貳）

3.租菽、荅如此（簡131）

4.以粟求菽，因而九之，十而一。211壹以米求菽，因而三之，二而一。212壹

《算術》的整理者將以上5字徑釋爲“菽”。該字從尗從寸（本從尗從又），均爲“叔”，讀作“菽”。將《算術》簡71、90、131、211、212的5個“菽”字改釋爲“叔（菽）”。

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《算數書》《算術》中“糳”的訛混異體字

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《九章算術》的“糳”可能爲“毇”之訛

“糳”與其他加工精細程度不同的米之間的換算比例在漢代傳世文獻中有兩條記載：

1.《九章算術·粟米》：“粟米之法：粟率五十 糲米三十 粺米二十七 糳米二十四”。

2.《説文解字》：“糳，䊪米一斛舂爲九斗曰糳。从毇，丵聲。”

《説文》：“斛，十斗也。”西漢張蒼、耿壽昌編訂的《九章算術》中的“糲米”與“糳米”的換算比例是10：8，而東漢許慎所撰《説文》中的二者之比則爲10：9。《詩·大雅·召旻》：“彼蔬斯粺”，東漢鄭玄箋：“米之率，糲十，粺九，鑿八”。“鑿”通“糳”，鄭玄也認爲是10：8。

後世學者意見有分歧，或認爲是10：8，或認爲是10：9。五代南唐徐鍇《説文解字繫傳》：“糲米一斛舂為九斗曰糳。”明清學者多認爲“䊪米一斛舂爲八斗曰糳”，如段玉裁、朱駿聲等，清段玉裁《説文解字注》：“糲米一斛舂爲八斗也。與《九章筭術》、《毛詩・鄭箋》皆合。然則許在張蒼之後，鄭吕之前。𣃔無乖，異。各本八斗譌九斗。繆誤顯然。”王念孫則“未知孰是”：

鄭箋言“粺九，糳八”；《九章算術》言“粺二十七，糳二十四”，皆是糳細於粺。《説文》以“糲米一斛舂九斗為糳，八斗為粺”，則是粺細於糳。未知孰是。

出土文獻的新發現爲解决這個產生了約兩千年的問題提供了契機，出土秦及漢初簡牘有相關換算比例：

1.《秦律十八種·倉律》簡41：

【粟一】石六斗大半斗，舂之爲䊪（糲）米一石；䊪（糲）米一石爲鑿（糳）米九斗；九【斗】爲毁（毇）米八斗。

2.張家山漢簡《算數書》簡88：

程禾 程曰：禾黍一石為粟十六斗泰（大）半斗，舂之為䊪米一石，糲米一石為（糳）米九斗，（糳）米【九】斗為（毇）米八斗。  

3.睡虎地漢簡《算術》簡69：

●程曰：黍一石爲粟十六斗泰半斗，舂之爲䊪（糲）一石，一爲粺米九斗，粺米九斗爲毀（毇）米八斗。

出土秦及漢初簡牘均表明一石糲米舂爲九斗糳米或粺米，再舂爲八斗毇米，即糲米”與“糳米”的換算比例是10：9，與《説文》相合。彭浩先生認爲《算數書》簡88的糳是九折米，《九章算術》和《算數書》“粟為米”題及其他簡的“粺”是九折米；《算數書》簡88的毇米和《九章算術》的糳米爲八折米。他據此指出秦與西漢時期的粺、糳標準似不同。（彭浩：《張家山漢簡〈算數書〉注釋》，北京：科學出版社，2001年，第80—81頁）

《説文解字》：“糳，从毇，丵聲。”筆者認爲《九章算術》的“糳”可能爲“毇”之訛，屬於形近義近誤抄產生的訛字。“糳”本從“毇”，儘多表音的“丵”。秦漢時期二字形近，皆從米從殳，只是“”“臼”二構件字形不同，形近易訛。《九章算術》中的以下的10個“糳”字均可能爲“毇”之訛。

1.粟米之法：

粟率五十  糲米三十  粺米二十七  糳米二十四  御米二十一  小䵂十三半  大䵂五十四  糲飯七十五  粺飯五十四  糳飯四十八  御飯四十二

2.今有粟四斗五升，欲爲糳米，問得幾何。答曰：爲糳米二斗一升五分升之三。

術曰：以粟求糳米，十二之，二十五而一。

3.今有粟八斗六升，欲爲糳飯，問得幾何。答曰：爲糳飯八斗二升二十五分升之一十四。

術曰：以粟求糳飯，二十四之，二十五而一。

4.今有糳米三斗少半升，欲爲粟，問得幾何。答曰：爲粟六斗三升三十六分升之七。

術曰：以糳米求粟，二十五之，十二而一。

如然，《説文解字》的“䊪米一斛舂爲九斗曰糳”是正確的，自秦漢以來均是如此；《九章算術》或其他文獻將“毇”訛爲“糳”，才產生“糲十，粺九，鑿八”“糲米一斛舂為八斗曰糳”等錯誤的文本。