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[原创] 睡虎地漢簡《算術》初讀

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發表於 2024-1-30 11:10 | 顯示全部樓層 |閱讀模式
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-30 12:50 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡41:“●乘員(圓)田之術曰:昔周曰〈自〉乘,十二成一。”此處的“昔”字可能爲“耤”之訛,也可能是“耤”字左半部分的“耒”墨跡消失或僅留不易辨認的痕跡,應改釋爲“耤”。由于圖版没有公布,故無法確定具體是何種情况。已公布的秦漢數學簡牘和《九章算術》的術文中均無“昔”字,但有“耤”字。北大秦簡《算書甲種》簡83:“員(圓)田述(術)……其一述(術):耤(藉)周自乘殹(也),十二成一。”《算書甲種》此題與《算術》此題計算方法完全相同。張家山漢簡《算數書》簡151:“術曰:耤(藉)周自乘,以深乘之,十二成一。”《算數書》此題是求圓柱體積,《算術》此題是求圓面積,二者求圓面積的術文完全相同,都是“耤周自乘,十二成一。”嶽麓秦簡《數》也有大量“耤”字出現。譚競男指出《算數書》、《數》中的此類“耤”字有憑藉、藉助之義,可從。
 樓主| 發表於 2024-1-30 16:21 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-30 16:41 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡31-36:“里田之術曰:直(置)廣、從(縱)里數,令相乘也,因而三之,有(又)三五之,即成田也。31廣一里,從(縱)一里,爲田三頃七十五畝。革八尺七十五寸一度。32廣二里,從(縱)三里,爲田廿二頃五十畝。33廣三里,從(縱)四里,爲田卌五頃。34田廣一里少半里,從(縱)一里泰(大)半里,爲田八頃卅三畝八十步。一得十一畝廿六步九分六。35廣七里,從(縱)九里,爲田二百卅六頃廿五畝。廣十里,從(縱)十里,爲田三百七十五頃。36”本題是求矩形田面積的算題,邊長以里爲單位。簡32的“革八尺七十五寸一度”顯然與本題無關。簡35的“一得十一畝廿六步九分六”雖然是田面積“八頃卅三畝八十步”的七十五分之一,但也與本題求矩形田的面積無關。税田面積一般爲總面積的十二分之一,也不可能是税田。蔡丹、譚競男指出《算術》原始編連狀態保存較好、字跡清晰。《湖北雲夢睡虎地M77發掘簡報》:“大部分(簡牘)留存于竹笥之内,是連同竹笥整體取回後在室内逐層清理出來的,它們基本上保持着原始的位置關係。”可以説明竹簡的編連狀態好,且本題各簡在内容上聯繫緊密,都屬于“里田之術”,所以簡31-36的編連并無問題。且《算術》也没有分上下欄或多欄書寫,故簡32、35中的與本題内容無關的簡文極大可能屬于誤抄,即簡32的“革八尺七十五寸一度”、簡35的“一得十一畝廿六步九分六”爲衍文。北大秦簡《算書》也有多處衍文,數學簡牘出現衍文是比較常見的現象。由于竹簡圖版和各簡之間的位置關係並未公布,所以有待進一步探究,但簡31-36編連有誤的可能性不大。

 樓主| 發表於 2024-1-30 21:12 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-30 21:26 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡50-51:“土攻(功) 凡乘土攻(功)、攻(功)材木積尺=曰:積寸千,爲尺一;尺乘尺,尺也;寸乘寸,寸也;尺乘丈,十尺也;50尺乘丈,十尺也;寸乘尺,十分尺一也;尺乘十丈,百尺也;寸乘丈,尺也。51”蔡丹、譚競男指出簡50“尺”字後的重文符號爲衍文,指出簡50-51的“尺乘丈,十尺也”重復出現,爲衍文,可從。蔡丹、譚競男認爲此題是立體體積的計算,他們將此題的計算過程用等式表示:“1立方寸×1000=1立方尺、1平方尺×1尺=1立方尺、1平方寸×1寸=1立方寸、1平方尺×1丈=10立方尺、1平方寸×1尺=1/10立方尺、1平方尺×10丈=100立方尺、1平方寸×1丈=1立方尺。”此題確爲計算體積的算題,若爲面積計算,將相乘的兩數看作矩形的兩邊,則“積寸千,爲尺一”不能成立,其餘均能成立。“積尺”在北大秦簡《算書》、岳麓秦簡《數》、張家山漢簡《算數書》中指體積,此處也應指體積。但“寸乘尺,十分尺一也”、“寸乘丈,尺也”應分别爲“1平方寸×1尺=1/100立方尺”、“1平方寸×1丈=1/10立方尺”,而非“1平方寸×1尺=1/10立方尺”、“1平方寸×1丈=1立方尺”。故“寸乘尺,十分尺一也”之“十”爲“百”之訛,“寸乘丈,尺也”之“尺”前脱“十分”、後脱“一”。此處應爲計算錯誤,用“【】”表示脱文,釋文應修訂爲:“土攻(功) 凡乘土攻(功)、攻(功)材木積尺=曰:積寸千,爲尺一;尺乘尺,尺也;寸乘寸,寸也;尺乘丈,十尺也;50尺乘丈,十尺也;寸乘尺,十〈百〉分尺一也;尺乘十丈,百尺也;寸乘丈,【十分】尺【一】也。51”北大秦簡《算書》有相似的簡文,不過是面積的計算,不是體積的計算。北大秦簡《算書甲種》簡201-202正面:“·凡乘,尺乘尺,尺也;尺乘寸,寸也;寸乘寸,十分寸一也;半寸乘寸,廿分寸一也;201尺乘丈,丈也;丈乘十丈,十丈也。202”《算書乙種》簡284-283背面:“度方术(術):以廣乘袤,有(又)以高乘之,即成積尺。·寸乘寸,寸也;寸乘尺,十分尺一也;寸乘十尺,尺284也;寸乘百尺,十尺也;寸乘千尺,百尺也;寸乘萬尺,千尺也;寸乘十萬尺,萬尺也。283
 樓主| 發表於 2024-1-31 12:50 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-31 12:52 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡116-119:“食攻(功) 食攻(功)之術曰:先得大徒及延袤之數,而令約也,即一人之延袤也。今有城五里,欲以萬人攻(功)之,問一人得延袤幾何。其得也曰:十分尺之九……問幾日而堵。其得也日〈曰〉……”其中,“問一人得延袤幾何”、“問幾日而堵”後用問號更妥。《九章算術》和其他秦漢數學簡牘的類似表述皆用問號。
 樓主| 發表於 2024-1-31 18:35 | 顯示全部樓層
睡虎地漢簡《算術》簡214-215:“率石幾何。率,其二百九十三石二鈞廿斤……”其中,“率石幾何”後用問號更妥。
 樓主| 發表於 2024-1-31 19:56 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-31 20:17 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡192-206的3道“率”類算題有“奇”、“上其”、“下其”,譚競男、蔡丹指出這三個術語不見于其他出土算術書,“上其”、“下其”更不見于其他文獻。如簡192-196:“石率 錢千七百卌四買粟六十八石八斗五升。·率,其廿二石七斗五升,石廿六錢;卌六石一斗,石廿五錢。·術曰:以粟升數爲法,令錢一爲百以爲實,實如法得一錢,不如法以爲粟數,爲上其;因以上其除法,余不除者亦以爲粟數,爲下其上其賈(價)貴下其石一錢。欲復之,置一石賈錢,以粟升數乘之,除百而得一錢。”譚競男、蔡丹指出“奇”表示餘數,引《漢書·食貨志》:“以收奇羨。”顏師古注:“奇,殘餘也。羨,饒溢也。”此外,譚競男、蔡丹認爲“其”可作名詞,指餘數。

北大秦簡《算書》已公布,有“奇”、“上奇”、“下奇”。《算書甲種》簡149-150正面:“·大廣十五步七分步三,從(縱)十六步九分步二,成田一畝十步六十三分步十八。·其述(術)曰:七其廣而九其從(縱),皆上奇相乘爲實;兩分相乘,六十三以爲法;除實,如法而一步。”《算書甲種》簡154-157正面:“·税田二百一十五步,十步一斗,租二石一斗五升。今乾之七升,問:租幾可(何)?得曰:十四步七分二而一斗,租一石五斗三升半升。述(術)曰:直(置)七升爲法,直(置)程十步,以十升乘之爲實,實如法一斗〈步〉。不盈斗〈步〉,而七之,有(又)十之,亦七其法,下奇從之,如法一升。·輿田如法一升。

《算書甲種》中的“奇”表示餘數,“上奇”、“下奇”分别表示分數分子、分母部分的餘數。譚競男、蔡丹認爲“上其”、“下其”之“上”、“下”可能爲單位大小,而《算書甲種》的整理者指出“上奇”、“下奇”之“上”、“下”表示用算籌計算時把餘數分别擺放在上方、下方。分子的餘數在上方,爲上奇;分母的餘數在下方,爲下奇。《算書》多有“上”、“下”的表述,指在上方的分子部分和下方的分母部分,即除法運算中的被除數部分、除數部分。如《算書》“少廣”算題中常見的“下有几分”,指分母中有分數。所以“上”、“下”表示位置的上下,“上”在分子部分、“下”在分母部分。所以《算術》中的“奇”表示餘數無誤,“上其”、“下其”就是“上奇”、“下奇”。“其”無餘數、殘餘之義,“其”作名詞指餘數之説恐難成立。可以將“其”讀爲“奇”,但文獻中無此例。筆者推測“其”更可能爲“奇”之訛,“奇”確有殘餘、餘數之義。《易·繫辭上》:“揲之以四,以象四時;歸奇於扐,以象閏。”韓康伯注:“奇,況四揲之餘不足復揲者也。”《管子·禁藏》:“果蓏素食當十石,穅粃六畜當十石,則人有五十石。布帛麻絲,旁入奇利,未在其中也。”尹知章注:“奇,餘,言不在五十石之中也。”《儀禮·鄉射禮》:“一筭爲奇,奇則又縮諸純下。”鄭玄注:“奇猶虧也。”《漢書·楚元王傳附劉向》:“春秋二百四十二年,日蝕三十六,襄公猶數,率三歲五月有奇而壹食。”顏師古注:“奇謂成數之餘,不滿者也。”若推測成立,《算術》中的“上其”、“下其”應修訂爲“上其〈奇〉”、“下其〈奇〉”。

 樓主| 發表於 2024-1-31 20:44 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-1-31 20:47 編輯

睡虎地漢簡《算術》有多個“賈”字,譚競男、蔡丹將其讀爲“價”。《算術》簡192-196:“石率 錢千七百卌四買粟六十八石八斗五升。·率,其廿二石七斗五升,石廿六錢;卌六192石一斗,石廿五錢。·術曰:以粟升數爲法,令錢一爲百以爲實,實如法得一錢,193不如法以爲粟數,爲上其;因以上其除法,余不除者亦以爲粟數,爲下其194上其賈(價)下其石一錢。195欲復之,置一石錢,以粟升數乘之,除百而得一錢。196”簡200-201:“上其賈(價)貴下其石一錢,200欲復之,置一石賈(價)錢。”簡205-206:“上其賈(價)貴下其石一錢,205欲復之,置一石錢。”“賈”讀爲“價”,價格、價錢。《説文新附·人部》:“價,物直也。從人、賈,賈亦聲。”簡195、200、201、205的“賈”均讀爲“價”,但簡196、206的“賈”未讀爲“價”,應修訂爲“賈(價)”。
 樓主| 發表於 2024-2-1 13:07 | 顯示全部樓層
本帖最後由 张宇鑫 於 2024-2-1 15:18 編輯

睡虎地漢簡《算術》簡75-76:“·賣瓜六百七十,取錢二百九十三,率之,其四百一十八瓜,二瓜一錢;其二百五十二瓜,三瓜一錢。術曰:以少75除多,多壹除少,少者即貴一錢。76”譚競男、蔡丹指出此題與《九章算術·粟米》“反其率”含義相近,但方法不同。譚競男、蔡丹對對此題計算過程的解釋:

以少除多     670(多)-293(少)=84
多壹除少     293(多)-84(少)=209,209(多)-84(少)=84
少者即貴一錢   84(少者):3錢;209(多者):2錢
          84×3=252瓜,3瓜/錢
          209×2=418瓜,2瓜/錢

此解釋的數學等式有明顯的錯誤,“670(多)-293(少)=84”不可能成立,670-293=377,670需連續減去兩個293才等于84:670-293-293=84。“209(多)-84(少)=84”不可能成立,209-84=125。《九章算術·粟米》的“反其率術”已經過王輝的校勘,“所率爲實”當修改爲“所買爲實”,可從。《九章算術》的“反其率術”:“以錢數爲法,所買爲實,實如法而一。不滿法者,反以實減法。法少實多,二物各以多少之數乘法實,即物數。”依此正確術文計算,計算過程如下:

以錢數爲法,所買爲實,實如法而一      670÷293=2……84
不滿法者,反以實減法              84<293,293-84=209
法少實多,二物各以多少之數乘法實,即物數 84×3=252,252個瓜的價格是3瓜1錢;209×2=418瓜,418個瓜的價格是2瓜1錢

所以《算術》此題的解釋應修正爲:

以少除多                       670-293=377
多壹除少                       377-293=84
少者即貴一錢                     84(少者):3錢;209(多者):2錢
二物各以多少之數乘少者、多者,即物數  84×3=252瓜,3瓜/錢;209×2=418瓜,2瓜/錢


此題術文可能有脱文,在“少者即貴一錢”之後脱“二物各以多少之數乘少者、多者,即物數”一類的表述。

譚競男、蔡丹認爲“以少除多”表示減法,無誤,秦漢數學簡牘中常見此用法。但譚競男、蔡丹認爲“多壹除少”的“壹”表示“多除少”的計算步驟是個可多次計算的整體,直到得到所需結果。筆者認爲“壹”就是一次的意思,這裏指做一次減法。嶽麓秦簡《數》簡186-190:“方亭,乘之,上自乘,下自乘,下壹乘上,同之,以高乘之,令三而成一。嶽麓秦簡《數》簡191-192:“乘園(圓)亭之述(術)曰:下周耤之,上周耤之 各自乘也,以上周壹乘下周,以高乘之,卅六而成一。《數》中的“壹乘”表示乘一次,《算術》中的“壹除”也應該指減一次,並非做多次減法。

此外,譚競男、蔡丹認爲《九章算術·粟米》“反其率”算題中的“所率”爲所買率,“所率”是運算中不同數值的簡省指代,以往學者的校改無必要。筆者認爲“所率”就是特定的比率,“其率術”中的“所率”是比率,將1單位所買物價格轉化爲題目要求的石、鈞、斤、兩、銖的價格需要乘此比率。從王輝的解釋,“反其率術”中的“率”爲“買”之訛,“反其率術”不需要“所率”介入計算,直接求一錢所買物的數量。且若“所率”爲“所買率”,“其率術”中的所率爲將1單位物品轉化爲石、鈞、斤、兩、銖的比率,緊接“其率術”的“反其率術”的“所率”又變成了“所買率”,同類算題中一詞有兩個不同含義,不妥。李繼閔將“所率爲實”改爲“所率乘所買爲實”的校改不合理,王輝將“率”改爲“買”的校改非常正確,當從。

此外,《睡虎地漢簡〈算術〉“率”類算題》一文尾注14有誤,“校改‘所率’爲‘所買率’”有誤,王輝是校改“所率”爲“所買”,而非“所買率”。

 樓主| 發表於 2024-2-1 15:09 | 顯示全部樓層
睡虎地漢簡《算術》簡75-76:“·賣瓜六百七十,取錢二百九十三,率之,其四百一十八瓜,二瓜一錢;其二百五十二瓜,三瓜一錢。術曰:以少75除多,多壹除少,少者即貴一錢。76”據圖版,“七十”寫作兩橫一豎的字,上橫長、下橫短,應釋爲“該字(七十)”。“七十”寫作該字在秦漢簡中常見。此外,據圖版,簡76下端有“三百八十四朱(銖)一斤”,或爲衍文。
 樓主| 發表於 2024-2-2 11:03 | 顯示全部樓層
张宇鑫 發表於 2024-1-30 16:21
睡虎地漢簡《算術》簡31-36:“里田之術曰:直(置)廣、從(縱)里數,令相乘也,因而三之,有(又)三五 ...

蔡丹、譚競男指出簡35的“一得十一畝廿六步九分六”疑爲誤抄。
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