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- 嶽麓書院藏秦簡《數》疑難算題研討
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(湖南大學嶽麓書院)
(首發)
嶽麓書院藏秦簡《數》的整理工作已基本完成,但對少數算題和術文,学者們有不同的解读,主要集中在以下幾個問題:一 簡1740和簡1746記載的“芻童”算題
尺,積尺萬五千六百┕。术(術)曰:上后(厚)乘上袤,下后(厚)乘 1740
下袤,并之,有(又)并上下袤相乘也,同之二千六百,以高乘之,六成一。 1746
利用“積尺萬五千六百”和“同之二千六百,以高乘之,六成一”幾個數據可算出高為三丈六尺。
我推測算題所述為“芻童”形體,如圖所示。其體積算式可表示為多種形式,下面列出的算式①是與術文描述接近的表述之一:
在《九章算術》的“商功”章,“芻童”的體積求解方法是:“術曰:倍上袤,下袤從之;亦倍下袤,上袤從之;各以其廣乘之;并,以高若深乘之,皆六而一。”
依術列式:
“廣”與 “后(厚)”可視為同一量,算式②经變形后可得到與算式①相同的形式。
因算題不完整,上袤、下袤、上后、下后四個數據缺失。復原方案可以有多種,例如:
[數據復原方案一]
上袤一丈,下袤二丈,上后二丈,下后三丈六尺,高三丈六尺。計算式為:
[數據復原方案二]
上袤二丈五尺,下袤三丈二尺,上后一丈,下后二丈,高三丈六尺。計算式為:
(數據復原方案二為武田時昌先生的意見。)
數據復原方案還會有很多種,不逐一列舉。
對於算題1740+1746所記的“术(術)”有多種解釋方式。總的來說,一部份意見主張對原文不補字,只設法從句讀、語言表述方面闡釋;另一部份意見主張補字以修正原簡文,使得文意通暢,符合算法、算式。
彭浩先生和武田時昌先生認為應當維持原簡文不補字,他們的意見如下:
彭浩先生的意見
彭浩先生認為,術文“上后乘上袤,下后乘下袤,”中的“上后”、“下后”對後面的文字起支配、引領作用,這一支配作用的範圍並不限於“上后乘上袤,下后乘下袤,”而是一直支配到“有(又)并上下袤相乘也”,也就是說,“有(又)并上下袤相乘也”不是表示“×(上袤+下袤)”,而是受到前文“上后”、“下后”的支配,還有前文“并之”的繼續影響,因而其含義應闡釋為“(上后+下后)×(上袤+下袤)”。如此,則不需改動原簡文而又能很好的理順題意。
武田時昌先生的意見
武田時昌先生認為,算題術文“术曰:上后(厚)乘上袤,下后(厚)乘下袤,并之,有(又)并上下袤相乘也,同之二千六百,以高乘之,六成一。”其中“并之”是理解題意的關鍵,“并之”指的是“(上后+下后)”。這就是說,在“上后(厚)乘上袤,下后(厚)乘下袤”步驟之後,“上后”、“下后”仍然對“并之”起作用,得到“(上后+下后)”,再與後面“有(又)并上下袤”得到的“(上袤+下袤)”相乘。按此解釋寫出算式就是前面列出的的算式①。武田時昌先生指出,“并之”不是要將前面兩項乘積“上袤×上后,下袤×上后”合計,後面的“同之”才表示將它前面三項乘積“上袤×上后,下袤×下后,(上后+下后)×(上袤+下袤)”合計。
鄒大海先生、林力娜先生、徐義保先生主張補字以修正原簡文,他們的意見如下:
鄒大海先生的意見
鄒大海先生認為原簡文有脫字,1746號簡應補全為“下袤,并之,有(又)并上下袤〔與上下后各〕相乘也,同之二千六百,以高乘之,六成一。”補上這五個字後,術文所提供的方法與《算數書》“芻”條所提供的方法在本質上相同。簡文敘述的算式應寫為:
此式與算式①本质相同,而表述上稍异。
《算數書》的“芻”原文是:“芻童及方闕下廣丈五尺、袤三丈,上廣二丈、袤四丈,高丈五尺,積九千二百五十尺。术(術)曰:上廣袤、下廣袤各自乘,又上[144]袤從下袤以乘上廣,下袤從上袤以乘下廣,皆并,乘之,六成一。[145]”依術文列出算式:
很明顯,《算數書》的“芻”條描述的算式④與鄒先生復原的《數》算題的算式③是相同的。
K. Chemla(林力娜)先生的意見
K. Chemla(林力娜)先生提出兩種意見,其一是補入五個字:“……有(又)并上下袤〔,亦幷上下后〕,相乘也,……”。這種意見與鄒大海先生的觀點實質是相同的。其二是補入一個字:“……有(又)并上、下袤〔,后〕,相乘也,……”。這樣補字後,簡文可以視為“有(又)并上、下袤,并上、下后,相乘也”的省略敘述,可寫成算式①的形式。
K. Chemla先生提出這一意見的依據是:劉徽注“芻童”這個立體時,他建議跟《九章》不同的一個算法,而且加一種推理方式,即“爲術又可令上下廣袤差相乘,以高乘之,三而一,亦四陽馬;上下廣袤互相乘,并而半之,以高乘之,即四面六壍堵與二立方,并之,爲芻童積。”其中的“上下廣袤差相乘”意思就是把“上下廣差”和“上下袤差”這兩個數量相乘。以此為證據,可能《數》上面所引用的這個算法僅僅脫了一個“后”字。
劉徽的注給出的另外兩種“芻童”體積算法列式:
刘徽使用了有限分割求和法得到上面两个算式,對推導過程的分析参见郭书春先生所著《九章算术譯注》[1]。
徐義保先生的意見
徐義保先生認為,在簡1746加两字“〔、后互〕”,即:“下袤,并之,有并上、下袤〔、后互〕相乘也,同之二千六百,以高乘之,六成一。”
徐先生也指出,此算題不一定要按“芻童”形體來考慮,或可能找到一幾何體,它的體積可以按照簡文中的“術”計算。(以上各位先生對算題1740+1746的意見是參照各位先生於2010年9月和10月的電子郵件轉述。)二 簡0940和簡0845記載的“救(求)隄”算題
救(求)隄廣袤不等者,同袤半之,亦同廣半之,乃各以其徐廣袤相乘,高乘即成┕。廣袤等者,徑令廣袤 0940
相乘高即成。 0845
我對算題的理解如下:
隄,同堤。《禮記·月令》:“修利隄防,道達溝瀆。”
同,意為相加,《數》里常見的表述方式,如:“少廣。下有半,以為二,半為一,同之三,以為法。”
同袤半之,即把不相等的兩袤相加除以二。
同廣半之,即把不相等的兩廣相加除以二。
徐,此題中可能是展開、延展的意思。
術文(0940+0845)記載的“堤”的體積計算方法里,前部份說的“廣袤不等者”,后部份說的“廣袤等者”。
據《九章算術》之“商功”章記載:“城、垣、堤、溝、塹、渠皆同術。術曰:并上下廣而半之,以高若深乘之,又以袤乘之,即積尺。”記上廣為a1,下廣為a2,袤為b,高為h,依術文寫成算式:
對照《九章算術》的記載,《數》術文(0940+0845)里前部份敘述的“廣袤不等者”可能分別指“廣不等”與“袤不等”兩種情況。袤不等時,“同袤半之”,廣不等時,“亦同廣半之”,然後根據不同情形“乃各以其徐廣袤相乘”,“各”強調針對兩種不同情況。“徐廣袤”的“徐”字有延展的意思,若“廣不等”時,隄的橫剖面為梯形,縱向的“袤”可視為橫剖面的延展;若“袤不等”時,隄的縱剖面為梯形,橫向的“廣”可視為縱剖面的延展;最後“高乘即成”,求得體積。寫成算式:
廣不等
袤不等
術文后部份敘述的“廣袤等者”,實際為一長方體,體積算式如術文所記:“徑令廣袤相乘高即成”,寫成算式就是:
廣袤等
鄒大海先生有不同意見,他認為簡文有缺字,當在“相乘”後補“三成一,以”,或“三而一,以”。“相乘”前可加逗號(不加亦通)。下面是一種復原方案:
救(求)隄廣袤不等者,同袤半之,亦同廣半之,乃各以其徐廣袤,相乘,【三而一,以】高乘即成┕。廣袤等者,徑令廣袤 0940
它描述的立體相當於“芻童”,示意圖如下:
記其上、下廣為、,上、下袤為、,高為。
“乃各以其徐廣袤”中的“徐”字通“除”,是除去、減的意思,如:馬王堆帛書《經法·論》“化則能明德徐害”;《九章算術》“均輸”章:“置四分日之三,除三分日之一”,劉徽注曰:“除,即減也。”“徐”在《數》簡0940中表示減。“其”為代詞,表示“同廣半之”與“同袤半之”所得結果(與)。“各以其徐廣袤”即分別用“同廣半之”所得的結果和“同袤半之”得到的結果與廣和袤相減: -(或-,都等於), -(或 -,都等於)。簡文相當於公式:[×+ (-)×(-)]÷3×或[×+ (-)×(-)]÷3×,都等於(×+×÷3)×。這與《九章算術》的芻童公式(相當於[(2+)×+(2+)×]×÷6)是等價的。三 簡0830和簡0818記載的“方亭”術文
方亭,乘之,上自乘,下自乘,下壹乘上,同之,以高乘之,令三而成一。0830
乘方亭述(術)曰:上方耤之下各自乘也,而并之,令上方有(又)相乘也,以高乘之,六成一。0818
對於簡0830術文的理解並無異議。方亭,其形為方棱錐平頭截體,即正四棱臺。設方亭上邊長為a,下邊長為b,高為h,依術列式如下:
此“方亭”求積公式與《九章算術》“商功”章的方亭公式相同。
簡0818則是較難解讀的。依據武田時昌先生的意見,0818號簡的術文可理解為:“上方耤之,下〔方耤之〕,各自乘也,而并之,令上方有〈下〉相乘也,〔同之〕,以高乘之,六成一。”
分析如下:
“上方耤之,下”後面省略了“〔方耤之〕”。
“而并之”的含義應理解為“(上方+下方)”。
“令上方有〈下〉相乘也”中的“有”字可能是誤寫,正確的該是“〈下〉”字。這一步驟表示用“上方”、“下方”分別乘前面“并之”步驟得到的“(上方+下方)”。
“以高乘之”之前實際省略了“〔同之〕”的表述,做出這一推斷的依據是0830號簡的術文。
依據補全后的術文列出算式:
此“方亭”求積公式與《數》簡0830所記術文以及《九章算術》“商功”章的“方亭”公式等價。
鄒大海先生又提出另一种校改方案:在“各”前補“方耤之”,“令上”之後補“下”字,改爲“六”爲三。校勘後的文字爲“乘方亭述曰:上方耤之,下方耤之,各自乘也,而幷之,令上、下方有相乘也,以高乘之,三成一”。
(編者按:本文收稿日期爲2011年4月12日。)
[1]郭書春. 九章算术譯注. 上海:上海古籍出版社. 2009. 208-212.