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- 北大秦簡《算書丙種》數字書寫錯誤現象初探
- ——讀北大秦簡數學文獻札記(一)
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(武漢大學簡帛研究中心、“古文字與中華文明傳承發展工程”協同攻關創新平臺)
(首發)摘要:筆者發現北大秦簡《算書丙種》卷三47號簡存在數字書寫錯誤,書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。結合整理者指出的數字錯誤,總結《算書丙種》常見的四種數字書寫錯誤類型,分别是漏寫數字、多寫數字、因計算錯誤或字形相近錯寫數字、將分子分母顛倒錯寫數字。進而從書手、文本與環境主客觀兩方面推測數字書寫錯誤的原因,書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等是主觀原因,計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等是客觀原因。《算書丙種》中數字容易錯寫,簡牘數學文獻研究中認真核對數字具有重要意義。
關鍵詞:北大秦簡牘;算書;數字;書寫錯誤;書手
一、《算書丙種》中的一處數字書寫錯誤
《北京大學藏秦簡牘(全五册)》卷三有數學類簡牘《算書丙種》,其中44-47號簡涉及6種糧食之間的換算:
■以米求粟,三母五子。·以米求叔(菽),再母三子。·以米求粺,十母九子。·以米求毀(毇),十母八子。·以粺求粟,廿七母五十子。·以毀(毇)求粟,廿四母五十子。·以粺求稻粟,廿七母六十子。·以毀(毇)求稻粟,【廿四】母六十子。以粟求稻粟,五母六子。以叔(菽)求粟,九母十子。·以叔(菽)求稻粟,九母十二子。·以叔(菽)求粺,卌五母廿七子。以毀(毇)求叔(菽),卌五母廿四子。[1]
卷三44-47號簡涉及米、粟、菽、粺、毇、稻粟6種不同糧食之間的換算比例,整理者認爲米爲初次加工後的糲米、粟爲禾或黍的穀子、菽爲大豆、粺爲加工精細程度高于糲米的米、毇爲加工精細程度高于粺米的米、稻粟爲稻穀。[2]“以米求粟,三母五子”義爲用米換取粟,需要乘以三爲分母以五爲分子的分數,即用米的數量乘三分之五得到粟的數量,整理者認爲需要乘五除以三。[3]故可以用等式來表示簡文中的13個換算:
(一) 米×5÷3=粟
(二) 米×3÷2=菽
(三) 米×9÷10=粺
(四) 米×8÷10=毇
(五) 粺×10÷9×5÷3=粺×50÷27=粟(先將粺換爲米再換爲粟)
(六) 毇×10÷8×5÷3=毇×50÷24=粟(先將毇換爲米再換爲粟)
(七) 粺×60÷27=稻粟
(八) 毇×10÷8×9÷10×60÷27=毇×60÷24=稻粟(先將毇換爲米再換爲粺再換爲稻粟)
(九) 粟×27÷50×60÷27=粟×6÷5=稻粟(先將粟換爲粺再換爲稻粟)
(十) 菽×2÷3×5÷3=菽×10÷9=粟(先將菽換爲米再換爲粟)
(十一) 菽×10÷9×6÷5=菽×12÷9=稻粟(先將菽換爲粟再換爲稻粟)
(十二) 菽×2÷3×9÷10=菽×18÷30=菽×27÷45=粺(先將菽換爲米再換爲粺)
(十三) 毇×10÷8×3÷2=毇×30÷16=毇×45÷24=菽(先將毇換爲米再換爲菽)
值得注意的是,簡文中“以毀(毇)求叔(菽)”得到的結果是“卌五母廿四子”,也即“毇×24÷45=菽”,這與上文計算得出的“毇×45÷24=菽”不符。經對比發現,47號簡的書手寫錯了數字,把分子與分母的位置錯誤顛倒,計算結果正確的表述應爲“廿四母卌五子”,此處“卌五母廿四子”實爲書手書寫錯誤。故《算書》中比較容易出錯的是數字,數字書寫錯誤的一大原因是將分數的分子與分母顛倒。
二、《算書丙種》數字書寫錯誤的幾種類型
《算書丙種》中存在一些數字書寫錯誤,整理者發現了多處,上文也論及分數書寫錯誤的情況,筆者根據出錯的不同情況將數字書寫錯誤分爲以下四類:
(一)漏寫數字
書手在書寫時直接漏寫數值較大的數字中的一部分數字,如整理者指出,卷三第17、18號簡有“二千八十三”,兩處“二千”之後均漏寫“二百”。[4]此外,卷三第21號簡有“以七分爲三百一十五”,整理者指出“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十,以八分”,[5]其中漏寫了兩個數字“三百六十”和“八”。
(二)多寫數字
書手將同樣的數字連寫兩遍,多寫一個數字,如整理者指出,卷三第23號簡有“八十四步有(又)七千一百廿廿九分步之五千九百六十四”,書手多寫了一個“廿”字。[6]
(三)因計算錯誤、字形相近錯寫數字
將一個數字完全錯寫爲另一個數字,卷三第29號簡有“十三成”,整理者指出書手將“二”多寫一橫筆錯寫爲“三”,並且漏寫“成”後的“一”字。[7]將“十二”寫成“十三”可能是計算錯誤導致的,也可能是書寫時因字形相近不經意寫錯的,“三”與“二”字形相近,“二”多寫一筆或“三”少寫一筆都會導致錯誤。
(四)將分子分母顛倒錯寫數字
分子與分母錯換位置、上下顛倒,如上文中提到的卷三第47號簡,書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。
三、推測簡牘數學文獻數字書寫錯誤的原因
(一)書手的主觀原因
《算書丙種》出現多處數字書寫錯誤,主觀上從書手的角度對其原因進行推測,書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等都可能是造成數字書寫錯誤的原因。比如上文提及的卷三第21號簡有“以七分爲三百一十五”,“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十,以八分”。卷三20、21號簡部分簡文爲:
下有九分,以一爲二千五百廿,以半爲千二百六十,以三分爲八百卌,以四分爲六百卅,以五分爲五百四,以六分爲四百廿,以七分爲三百一十五,以九分爲二百八十,同之爲七千一百廿九以爲法。
這部分簡文講解的數學計算方法非常有邏輯性,一爲1/1,半爲1/2,三分爲1/3,以此類推一直到九分爲1/9,從“以一爲二千五百廿”一直到以“九分爲二百八十”。從1一直到1/9,可以明顯發現中間少了“八分”即八分之一的計算,根據計算的方法可以補出“七分”和“爲”之間漏寫“爲三百六十,以八分”。從此處的漏寫就可以看出書手邏輯思維能力差,漏寫了“七分”之後的“八分”,直接跳到“九分”。這是顯而易見可以發現的錯誤,此後極大可能書手寫完没有檢查,完全不能發現漏寫“八分”的計算。由此處錯誤可以看出書手不認真核對、邏輯思維能力不強。
此外,如上文提及的卷三第29號簡書手將“十二成一”錯寫爲“十三成”,存在計算錯誤的可能,反映出書手計算能力偏差的問題。
(二)文本與環境的客觀原因
從客觀角度來説,計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等都會造成數字書寫錯誤。在秦代數學計算規則中没有分數計算結果約分這一規定,這造成秦代數學簡牘中存在大量數值非常大的整數和分數。越簡單、數值越小的整數和分數越不容易出錯,但《算書》中保留了大量數值非常大的數字,這提高了書寫錯誤的概率。比如上文提及的卷三第17、18號簡有“二千八十三”,兩處“二千”之後均漏寫“二百”。還有上文提及的卷三第23號簡有“八十四步有(又)七千一百廿廿九分步之五千九百六十四”,書手多寫了一個“廿”字,這是一個非常複雜的分數。而且當時秦代數字書寫形式複雜,全部用漢字,没有使用阿拉伯數字。用漢字書寫數值較大的數字需要寫更多的筆畫、佔據空間更大、更不易辨認,阿拉伯數字“7129”比漢字“七千一百廿九”更簡潔、易書寫和辨認,更不容易出錯。所以用漢字書寫數值較大的數字增加了書寫錯誤的概率。此外,如果在夜間書寫,書寫環境燈光昏暗等客觀因素都會造成影響。
四、由數字錯誤看簡牘數學文獻核對數字的重要性
《算書丙種》中數字容易錯寫,數學簡牘中的數字值得特別關注。要盡可能將所有計算過程親自演算一遍,確保所有數字准確無誤,包括計算過程中的各項數字和最後的計算結果。數字的正確也説明計算方法和計算過程以及計算結果三者都正確,數字出現錯誤説明計算方法、計算過程和計算結果都可能存在錯誤,需要進一步驗證出錯的環節。所以在數學簡牘研究中認真核對數字具有重要意義。比如卷三第29號簡書手將“十二成一”錯寫爲“十三成”,只要帶入計算就可以發現錯誤。卷三29-30號簡釋文爲:
■圜(圓)田周卅步,令三而一為徑,徑十步,爲田(七十)五步。·其述(術)曰:半周半徑相乘,即成。·一述(術)曰:周乘周,十三成。·一述(術)曰:徑乘周,四而成一。·一述(術)曰:參(三)分周爲從(縱),四分周爲廣,相乘即成。·述(術)曰:徑乘徑,四成三。
據簡文可知,圓的周長爲30步,直徑爲周長的三分之一(此處圓周率π爲3),即爲十步,圓的面積爲七十五平方步。這里給出了五種計算圓面積的方法,其中四種方法的計算結果均無誤,均爲75平方步。唯獨第二種計算方法的結果不是75平方步,第二種計算方法爲“一述(術)曰:周乘周,十三成。”
如上文所述整理者指出“十三成”後漏寫“一”字。故按“十三成一”計算,周長乘周長除以13就得到圓的面積,即30×30÷13=900÷13=900/13,結果不等于75,與“爲田(七十)五步”矛盾。若將“十三”換爲“十二”,周長乘周長除以12就得到圓的面積,即30×30÷12=75,恰好等于75平方步,與“爲田(七十)五步”相合。故“十三成”應爲“十二成一”,書手將“二”多寫一橫筆錯寫爲“三”,並且漏寫“成”後的“一”字。此處就是由錯誤的計算結果發現了計算方法的錯誤,計算方法中的被除數不應該是13而應該是12。
綜上,《算書丙種》卷三47號簡存在數字書寫錯誤,書手將“廿四母卌五子”錯寫爲“卌五母廿四子”。《算書丙種》常見的四種數字書寫錯誤類型是漏寫數字、多寫數字、因計算錯誤或字形相近錯寫數字、將分子分母顛倒錯寫數字。從書手、文本與環境主客觀兩方面推測數字書寫錯誤的原因,書手書寫時身心狀態不佳、不認真核對、計算能力偏差、邏輯思維能力不強等是主觀原因,計算規則不完善、數字書寫形式複雜、書寫環境燈光昏暗等是客觀原因。《算書丙種》中數字容易錯寫,簡牘數學文獻研究中認真核對數字具有重要意義。
[1] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,上海古籍出版社,2023年,第384頁。本文北大秦簡釋文皆出該書,不再贅引。
[2] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第384頁。
[3] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第384頁。
[4] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第370-371頁。
[5] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第371頁。
[6] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第371頁。
[7] 北京大學出土文獻與古代文明研究所編:《北京大學藏秦簡牘(全五册)》,第376-377頁。
(編者按:本文收稿時間為2023年8月28日03:57。)